

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 1
\newcommand{\BRA}{
习题1. 设 $ M \subseteq N $，证明：
$$
M \cap N = M, \quad M \cup N = N.
$$

}


\newcommand{\BRAa}{
设 $M$ 是 $N$ 的子集，证明 $M \cup N = N$. 
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\BRB}{
习题2. 证明：
\begin{align*}
M \cap (N \cup L) &= (M \cap N) \cup (M \cap L), \\
M \cup (N \cap L) &= (M \cup N) \cap (M \cup L).
\end{align*}

}

\newcommand{\BRBa}{
证明有关集合的一个公式 $M \cup (N \cap L) = (M \cup N) \cap (M \cup L)$.
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 3
\newcommand{\BRC}{
习题3. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1) 次数等于 $ n $ ($ n \geqslant 1 $) 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2) 设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 实矩阵，$ A $ 的实系数多项式 $ f(A) $ 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；

3) 全体 $ n $ 阶实对称（反称、上三角形）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

4) 平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；

5) 全体实数的二元数列，对于如下定义的运算①：

\begin{align*}
(a_1, b_1) \oplus (a_2, b_2) &= (a_1 + a_2, b_1 + b_2 + a_1 a_2), \\
k \odot (a_1, b_1) &= \left(k a_1, k b_1 + \frac{k(k-1)}{2} a_1^2\right);
\end{align*}

6) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
$$
k \odot \alpha = 0;
$$

7) 集合与加法同 6)，数量乘法定义为
$$
k \odot \alpha = \alpha;
$$

8) 全体正实数 $\mathbb{R}^+$，加法与数量乘法定义为
$$
a \oplus b = ab, \quad k \odot a = a^k.
$$

}

\newcommand{\BRCa}{
检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
\begin{enumerate}
\item 次数等于 $2$ 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法。

\item 设 $ A $ 是一个二阶实矩阵，$ A $ 的实系数多项式 $ f(A) $ 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法。

\item  全体三阶实对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法。
\end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\BRD}{
习题4. 在线性空间中，证明：
1) $ k0 = 0 $; \quad 2) $ k(\alpha - \beta) = k\alpha - k\beta $.

}

\newcommand{\BRDa}{
根据线性空间的定义证明 $k(\alpha - \beta) = k\alpha - k\beta $.
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\BRE}{
习题5. 证明：在实函数空间中，$ 1 $，$ \cos^2 t $，$ \cos 2t $ 是线性相关的.

}

\newcommand{\BREa}{
判断在实函数空间中的向量组 $1$,\, $ \cos^2t $,\, $\cos 2t $ 是否线性相关。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\BRF}{
习题6. 证明：如果 $ f_1(x) $，$ f_2(x) $，$ f_3(x) $ 是线性空间 $ P[x] $ 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.

}

\newcommand{\BRFa}{
设 $a,b,c$ 是三个互不相同的实数。
设 $f_1(x)=(x-a)(x-b)$, $f_2(x)=(x-b)(x-c)$, $f_3(x)=(x-c)(x-a)$.
证明 $f_1(x),f_2(x),f_3(x)$ 在线性空间 $\mathbb{R}[x]$ 中线性无关。

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\BRG}{
习题7. 在 $ P^4 $ 中，求向量 $ \xi $ 在基 $ \varepsilon_1 $，$ \varepsilon_2 $，$ \varepsilon_3 $，$ \varepsilon_4 $ 下的坐标。设

1)
\begin{align*}
\varepsilon_1 &= (1, 1, 1, 1), & \varepsilon_2 &= (1, 1, -1, -1), & \varepsilon_3 &= (1, -1, 1, -1), \\
\varepsilon_4 &= (1, -1, -1, 1), & \xi &= (1, 2, 1, 1);
\end{align*}

2) $ \varepsilon_1 = (1, 1, 0, 1), \quad \varepsilon_2 = (2, 1, 3, 1), \quad \varepsilon_3 = (1, 1, 0, 0), $

$ \varepsilon_4 = (0, 1, -1, -1), \quad \xi = (0, 0, 0, 1). $

}

\newcommand{\BRGa}{
%在线性空间 $ \mathbb{R}^3 $ 中，
求向量 $ \xi=(1,2,1)$ 
在一组基 $ \varepsilon=(1,1,1)$, $\varepsilon_2=(1,1,-1)$, 
$ \varepsilon_3=(1,-1,-1)$下的坐标。
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\BRH}{
习题8. 求下列线性空间的维数与一组基：

1) 数域 $ P $ 上的空间 $ P^{n \times n} $;

2) $ P^{n \times n} $ 中全体对称（反称、上三角形）矩阵作成的数域 $ P $ 上的空间;

3) 第 3 题 8) 中的空间;

4) 实数域上由矩阵 $ A $ 的全体实系数多项式组成的空间，其中

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \omega & 0 \\
0 & 0 & \omega^2
\end{pmatrix}, \quad \omega = \frac{-1 + \sqrt{3}\mathrm{i}}{2}.
$$

}

\newcommand{\BRHa}{
求下列线性空间的维数与一组基：
\begin{enumerate}
\item  三阶实数矩阵全体 $ \mathbb{R}^{3 \times 3}$.
\item  三阶实数对称矩阵全体。
\item  设 $A = \begin{pmatrix}1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}$. 
集合 $V=\{f(A)\mid f(x)\in\mathbb{R}[x]\}$ 在矩阵的加法与数乘下形成的实线性空间。 
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 9
\newcommand{\BRI}{
习题9. 在 $ P^4 $ 中，求由基 $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 $ 到基 $ \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 $ 的过渡矩阵，并求向量 $ \xi $ 在所指基下的坐标。设

1)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon_1 = (1, 0, 0, 0), \\
\varepsilon_2 = (0, 1, 0, 0), \\
\varepsilon_3 = (0, 0, 1, 0), \\
\varepsilon_4 = (0, 0, 0, 1),
\end{array}
\right.
\quad
\xi = (x_1, x_2, x_3, x_4) \text{ 在 } \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 \text{ 下的坐标};
$$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\eta_1 = (2, 1, -1, 1), \\
\eta_2 = (0, 3, 1, 0), \\
\eta_3 = (5, 3, 2, 1), \\
\eta_4 = (6, 6, 1, 3),
\end{array}
\right.
$$

2)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon_1 = (1, 2, -1, 0), \\
\varepsilon_2 = (1, -1, 1, 1), \\
\varepsilon_3 = (-1, 2, 1, 1), \\
\varepsilon_4 = (-1, -1, 0, 1),
\end{array}
\right.
\quad
\xi = (1, 0, 0, 0) \text{ 在 } \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \text{ 下的坐标};
$$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\eta_1 = (2, 1, 0, 1), \\
\eta_2 = (0, 1, 2, 2), \\
\eta_3 = (-2, 1, 1, 2), \\
\eta_4 = (1, 3, 1, 2),
\end{array}
\right.
$$

3)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon_1 = (1, 1, 1, 1), \\
\varepsilon_2 = (1, 1, -1, -1), \\
\varepsilon_3 = (1, -1, 1, -1), \\
\varepsilon_4 = (1, -1, -1, 1),
\end{array}
\right.
\quad
\xi = (1, 0, 0, -1) \text{ 在 } \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 \text{ 下的坐标};
$$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\eta_1 = (1, 1, 0, 1), \\
\eta_2 = (2, 1, 3, 1), \\
\eta_3 = (1, 1, 0, 0), \\
\eta_4 = (0, 1, -1, -1),
\end{array}
\right.
$$

}

\newcommand{\BRIa}{
在线性空间 $ \mathbb{R}^3 $ 中，求由基 
$ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 
到基 
$ \eta_1, \eta_2, \eta_3$ 
的过渡矩阵，并求向量 
$ \xi $ 
在两组基下的坐标，这里 
$$
\left\{\begin{array}{l}
\varepsilon_1 = (1, 0, 0), \\
\varepsilon_2 = (0, 1, 0), \\
\varepsilon_3 = (0, 0, 1), \\
\end{array}\right.
\quad
\left\{\begin{array}{l}
\eta_1 = (1, 2, 3), \\
\eta_2 = (1, 2, 0), \\
\eta_3 = (1, 0, 0), \\
\end{array}\right.
\quad
\xi = (4, 5, 6). 
$$
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\BRJ}{
习题10. 继第 9 题 1)，求一非零向量 $ \xi $，它在基 $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 $ 与 $ \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 $ 下有相同的坐标.

}

\newcommand{\BRJa}{
求非零向量 $ \xi $，它在下述两组基下有相同的坐标，
$$
\left\{\begin{array}{l}
\varepsilon_1 = (1, 0, 0), \\
\varepsilon_2 = (0, 1, 0), \\
\varepsilon_3 = (0, 0, 1), \\
\end{array}\right.
\quad
\left\{\begin{array}{l}
\eta_1 = (1, 2, 3), \\
\eta_2 = (1, 2, 0), \\
\eta_3 = (1, 0, 0). \\
\end{array}\right.
$$

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11
\newcommand{\BRK}{
习题11. 证明：实数域作为它自身上的线性空间与第 3 题 8）中的空间同构.

}

\newcommand{\BRKa}{
证明复数域作为实线性空间与 $\mathbb{R}^2$ 同构。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12
\newcommand{\BRL}{
习题12. 设 $ V_1, V_2 $ 都是线性空间 $ V $ 的子空间，且 $ V_1 \subseteq V_2 $，证明：如果 $ V_1 $ 的维数和 $ V_2 $ 的维数相等，那么 $ V_1 = V_2 $.

}

\newcommand{\BRLa}{
设 $ V_1, V_2 $ 都是线性空间 $ V $ 的子空间。
设 $ V_1 \subseteq V_2 $ 且 $\dim V_1=\dim V_2$. 
证明 $ V_1 = V_2 $.
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\BRM}{
习题13. 设 $ A \in P^{n \times n} $.

1) 证明：全体与 $ A $ 可交换的矩阵组成 $ P^{n \times n} $ 的一子空间，记作 $ C(A) $;

2) 当 $ A = E $ 时，求 $ C(A) $;

3) 当

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n
\end{pmatrix}
$$

时，求 $ C(A) $ 的维数和一组基.

}

\newcommand{\BRMa}{

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$. 
设 $V=\{B\in \mathbb{R}^{2\times 2}\mid AB=BA\}$. 
\begin{enumerate}
\item 证明 $V$ 是 $\mathbb{R}^{2\times 2}$ 的线性子空间。
\item 求 $V$ 的维数和一组基。
\end{enumerate}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14
\newcommand{\BRN}{
习题14. 设
$$
 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, 
$$
求 $ P^{3 \times 3} $ 中全体与 $ A $ 可交换的矩阵全体组成的子空间的维数和一组基.

}

\newcommand{\BRNa}{
设 $A = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, 
求 $ \mathbb{R}^{3 \times 3} $ 中与 $ A $ 可交换的矩阵全体所成子空间的维数。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15
\newcommand{\BRO}{
习题15. 如果 $ c_1 \alpha + c_2 \beta + c_3 \gamma = \mathbf{0} $，且 $ c_1 c_3 \neq 0 $，证明：$ L(\alpha, \beta) = L(\beta, \gamma) $.

}

\newcommand{\BROa}{
设 $ c_1 \alpha + c_2 \beta + c_3 \gamma = {0} $ 且 $ c_1 c_3 \neq 0 $. 证明 $ L(\alpha, \beta) = L(\beta, \gamma) $.

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16
\newcommand{\BRP}{
习题16. 在 $ P^4 $ 中，求由向量 $ \alpha_i $ ($ i=1,2,3,4 $) 生成的子空间的基与维数。设

1)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = (2, 1, 3, 1), \\
\alpha_2 = (1, 2, 0, 1), \\
\alpha_3 = (-1, 1, -3, 0), \\
\alpha_4 = (1, 1, 1, 1);
\end{array}
\right.
$$
2)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = (2, 1, 3, -1), \\
\alpha_2 = (-1, 1, -3, 1), \\
\alpha_3 = (4, 5, 3, -1), \\
\alpha_4 = (1, 5, -3, 1).
\end{array}
\right.
$$

}

\newcommand{\BRPa}{
在线性空间 $ \mathbb{R}^4 $ 中，求由向量组 
$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 
生成的子空间
$L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$
的维数，这里 
$$
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_1 = (2, 1, 3, 1), \\
\alpha_2 = (1, 2, 0, 1), \\
\alpha_3 = (-1, 1, -3, 0), \\
\alpha_4 = (1, 1, 1, 1). \\
\end{array}\right.
$$

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 17
\newcommand{\BRQ}{
习题17. 在 $ P^4 $ 中，求由齐次方程组

$$
\left\{
\begin{array}{l}
3x_1 + 2x_2 - 5x_3 + 4x_4 = 0, \\
3x_1 - x_2 + 3x_3 - 3x_4 = 0, \\
3x_1 + 5x_2 - 13x_3 + 11x_4 = 0
\end{array}
\right.
$$

确定的解空间的基与维数.

}

\newcommand{\BRQa}{
在线性空间 $ \mathbb{R}^4 $ 中，求由齐次方程组确定的解空间的基与维数，
$$
\left\{\begin{array}{l}
3x_1 + 2x_2 - 5x_3 + 4x_4 = 0, \\
3x_1 - x_2 + 3x_3 - 3x_4 = 0, \\
3x_1 + 5x_2 - 13x_3 + 11x_4 = 0. \\
\end{array}\right.
$$

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 18
\newcommand{\BRR}{
习题18. 求由向量 $ \alpha_i $ 生成的子空间与由向量 $ \beta_i $ 生成的子空间的交的基和维数。设

1)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = (1, 2, 1, 0), \\
\alpha_2 = (-1, 1, 1, 1),
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\beta_1 = (2, -1, 0, 1), \\
\beta_2 = (1, -1, 3, 7);
\end{array}
\right.
$$

2)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = (1, 1, 0, 0), \\
\alpha_2 = (1, 0, 1, 1),
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\beta_1 = (0, 0, 1, 1), \\
\beta_2 = (0, 1, 1, 0);
\end{array}
\right.
$$

3)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = (1, 2, -1, -2), \\
\alpha_2 = (3, 1, 1, 1), \\
\alpha_3 = (-1, 0, 1, -1),
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\beta_1 = (2, 5, -6, -5), \\
\beta_2 = (-1, 2, -7, 3).
\end{array}
\right.
$$

}

\newcommand{\BRRa}{
求由向量 $ \alpha_i $ 生成的子空间与由向量 $ \beta_i $ 生成的子空间的交空间的基和维数，这里
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = (1, 2, 1, 0), \\
\alpha_2 = (-1, 1, 1, 1),
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\beta_1 = (2, -1, 0, 1), \\
\beta_2 = (1, -1, 3, 7).
\end{array}
\right.
$$
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19
\newcommand{\BRS}{
习题19. 设 $ V_1 $ 与 $ V_2 $ 分别是齐次方程组 $ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 $ 与 $ x_1 = x_2 = \cdots = x_n $ 的解空间，证明：$ P^n = V_1 \oplus V_2 $.

}

\newcommand{\BRSa}{
设 $ V_1 $ 与 $ V_2 $ 分别是齐次方程组 $ x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 $ 与 $ x_1 = x_2 = x_3 $ 的解空间，证明 $ \mathbb{R}^3 = V_1 \oplus V_2 $.

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 20
\newcommand{\BRT}{
习题20. 证明：如果 $ V = V_1 \oplus V_2 $，$ V_1 = V_{11} \oplus V_{12} $，那么 $ V = V_{11} \oplus V_{12} \oplus V_2 $.

}

\newcommand{\BRTa}{
证明：如果 $ V = U \oplus W$, $U = U_1 \oplus U_2$, 
那么 $ V = U_1 \oplus U_2 \oplus W$.

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\BRU}{
习题21. 证明：每一个 $ n $ 维线性空间都可以表示成 $ n $ 个一维子空间的直和.
}

\newcommand{\BRUa}{
证明每一个三维线性空间都可以表示成三个一维子空间的直和。
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 22
\newcommand{\BRV}{
习题22. 证明：和 $ \sum_{i=1}^{s} V_i $ 是直和的充分必要条件是

$$
V_i \cap \sum_{j=1}^{i-1} V_j = \{\mathbf{0}\}, \quad i = 2, 3, \ldots, s.
$$

}

\newcommand{\BRVa}{
设 $U,V,W$ 都是线性空间 $L$ 的子空间。
设 $U\cap V=\{0\}, (U+V)\cap W=\{0\}$, 
证明子空间的和 $ U+V+W $ 是直和。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 23
\newcommand{\BRW}{
习题23. 在给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间 $ \mathbb{R}^3 $.

1) 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？

2) 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间 $ L_1, L_2, L_3 $，问 $ L_1 + L_2 $，$ L_1 + L_2 + L_3 $ 能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来。

3) 就用几何空间的例子来说明：若 $ U, V, X, Y $ 是子空间，满足 $ U + V = X $，$ X \supseteq Y $，是否一定有 $ Y = (Y \cap U) + (Y \cap V) $.

}

\newcommand{\BRWa}{
若 $ U, V, X, Y $ 都是线性空间 $L$ 的子空间。
设 $ U + V = X $, $ X \supseteq Y $，
判断 $Y = (Y \cap U) + (Y \cap V)$ 是否一定成立。
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 23
\newcommand{\BRXa}{
求由向量 $ \alpha_i $ 生成的子空间与由向量 $ \beta_i $ 生成的子空间的和空间的基和维数，这里 
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_1 = (1, 2, 1, 0), \\
\alpha_2 = (-1, 1, 1, 1),
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\beta_1 = (2, -1, 0, 1), \\
\beta_2 = (1, -1, 3, 7).
\end{array}
\right.
$$
}




